Bilişim Matematiği - 2. Ders

• Not: Ders hârici bir anlatım için 1- Buders Önermeler ve 1- Temeller (Mantık) notlarına bakılması tavsiye edilir.
  
• Not 2: Notlar ders anlatımına bire-bir sadık değildir. Derste anlatılanların hepsini kapsar ancak ilave eklemeler de vardır.

---

Ünite 2: Mantık | 03.10.2025

• Önerme: Doğru ya da yanlış, kesin hüküm bildiren ifade.

Doğruluk Değeri (Truth Value)

• Bir önerme ele aldığımızda, bu önerme ya doğrudur (1) ya da yanlıştır (0)
• Bir önermenin denkliği $\equiv$ sembolü ile gösterilir. Mesela $p\equiv 1$ veya $q\equiv 0$ gibi.

Denk Önermeler

• Doğruluk değerleri aynı olan önermelerdir

Örnek

$p$: Türkiye’nin başkenti Ankara’dır. ($p\equiv 1$)
$q$: $-3$‘ün karesi $9$‘dur. ($q\equiv 1$)
Bu durumda $p$ ve $q$ denk önermelerdir, $p\equiv q$.

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) (Negation)

• Bir önermenin doğruluk değerini değiştirir.
  • $p$: Türkiye’nin başkenti Ankara’dır. ($p\equiv 1$)
  • $p^{\prime }$: Türkiye’nin başkenti Ankara değildir. ($p^{\prime }\equiv 0$)
  • $q$: $(-5{)}^2=25$‘tir. ($q\equiv 1$)
  • $q^{\prime }$: $(-5{)}^2\ne 25$ ($q^{\prime }\equiv 0$)

Doğruluk Tablosu (Truth Table)

• Önerme sayısına n dersek, $2^n$ tane doğruluk durumu ortaya çıkar.
• $p$ ve $q$ olmak üzere $2$ önermemiz var diyelim, bu durumda $2^2=4$ adet doğruluk durumu ortaya çıkacaktır.

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$
1	1
1	0
0	1
0	0

• Eğer $r$ önermesini de eklersek, bu sefer $3$ adet önermemiz olacağı için $2^3=8$ adet doğruluk durumu ortaya çıkacaktır.

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$	$\mathbf{r}$	${\mathbf{p}}^{\prime }$
1	1	1	0
1	1	0	0
1	0	1	0
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1
0	0	0	1

---

Bileşik Önerme ve Bağlaçlar (Compound Proposition and Logical Operators)

• Bileşik Önerme: İki veya daha fazla önermenin bağlaçlar yardımıyla birleştirilmesiyle ortaya çıkan yeni önerme.

a) “VE” Bağlacı (∧) (AND)

• Yazılımda gördüğümüz && operatörüne karşılık gelir.
• “VE” bağlacı ile birleştirilen önermelerin sonucunun doğru (1) olabilmesi için tüm önermelerin doğru olması gerekir.
• Çarpma işlemi gibi düşünülebilir.

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$	$\mathbf{p}\wedge \mathbf{q}$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Örnek 1: Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz.

$$[p^{\prime }\wedge (p\wedge q)]\wedge (0^{\prime }\wedge p)\equiv ?$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rlrl}& \equiv [\underset{0}{\underbrace{(p^{\prime }\wedge p)}}\wedge q]\wedge (\underset{1}{\underbrace{0^{\prime }}}\wedge p)& & \text{(Birles¸me O¨zellig˘i)}\\ & \equiv (0\wedge q)\wedge (1\wedge p)& & \\ & \equiv 0\wedge p& & \\ & \equiv 0& & \end{array}$$

---

b) “VEYA” Bağlacı (∨) (OR)

• Yazılımda gördüğümüz || operatörüne karşılık gelir.
• “VEYA” bağlacı ile birleştirilen önermelerin sonucunun yanlış (0) olabilmesi için tüm önermelerin yanlış olması gerekir.
• Toplama işlemi gibi düşünülebilir (1+1=1 hariç).

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$	$\mathbf{p}\vee \mathbf{q}$
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Örnek 2: Aşağıda verilen önermelerin en sade hâlini yazınız.

$$\begin{array}{cc}& \mathbf{a})(p\vee 1)\wedge (q\vee q^{\prime })\\ & \to \boxed{1\wedge 1\equiv 1}\\ & \\ & \mathbf{b})(q\vee 0)\vee (q^{\prime }\vee 1)\\ & \\ & \to \boxed{q\vee 1\equiv 1}\\ & \\ & \mathbf{c})(p\wedge p^{\prime })\vee (q\wedge 0)\\ & \to \boxed{0\vee 0\equiv 0}\end{array}$$

Örnek 3:

$$\begin{array}{c}\boxed{p\equiv q^{\prime }\equiv r\equiv 0}⟹\\ \\ \left[(p^{\prime }\wedge r)\vee (q\wedge r^{\prime })\right]\vee \left[(p^{\prime }\wedge r^{\prime })\wedge (q^{\prime }{)}^{\prime }\right]\equiv ?\end{array}$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& p\equiv 0⟹p^{\prime }\equiv 1\\ & q^{\prime }\equiv 0⟹q\equiv 1\\ & r\equiv 0⟹r^{\prime }\equiv 1\\ & \\ & \equiv [(1\wedge 0)\vee (1\wedge 1)]\vee [(1\wedge 1)\wedge 1]\\ & \equiv [0\vee 1]\vee [1\wedge 1]\\ & \equiv 1\vee 1\equiv 1\end{array}$$

---

Örnek 4 (Sınavda çıkabilir): Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz.

$$\left[(p^{\prime }\wedge r{)}^{\prime }\wedge r\right]\vee (p^{\prime }\vee r{)}^{\prime }\equiv ?$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rlrl}& \equiv [(p\vee r^{\prime })\wedge r]\vee (p\wedge r^{\prime })& & \text{(De Morgan Kuralları)}\\ & \equiv [(p\wedge r)\vee (r^{\prime }\wedge r)]\vee (p\wedge r^{\prime })& & \text{(Dag˘ılma O¨zellig˘i)}\\ & \equiv [(p\wedge r)\vee 0]\vee (p\wedge r^{\prime })& & \\ & \equiv (p\wedge r)\vee (p\wedge r^{\prime })& & \\ & \equiv p\wedge (r\vee r^{\prime })& & \text{(p parantezine alma)}\\ & \equiv p\wedge 1\equiv p& & \end{array}$$

---

c) “YA DA” Bağlacı (⊻) (XOR)

• “YA DA” bağlacında önermelerin doğruluk değerleri farklı ise sonuç doğru (1), aynı ise sonuç yanlıştır (0).

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$	$\mathbf{p}⊻\mathbf{q}$
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Örnek 5:

$$\boxed{\left(p\vee q\equiv 0,q\vee r\equiv 1\right)}⟹(\mathbf{p}⊻{\mathbf{q}}^{\prime })\wedge ({\mathbf{p}}^{\prime }⊻\mathbf{r})\equiv ?$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& p\vee q\equiv 0⟹p\equiv 0,q\equiv 0\\ & q\vee r\equiv 1⟹0\vee r\equiv 1⟹r\equiv 1\\ & \\ & \to (p⊻q^{\prime })\wedge (p^{\prime }⊻r)\\ & \to (0⊻1)\wedge (1⊻1)\\ & \to 1\wedge 0\equiv 0\end{array}$$

Örnek 6: Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz.

$$(\mathbf{p}\vee {\mathbf{p}}^{\prime })⊻(\mathbf{q}\wedge {\mathbf{q}}^{\prime })\equiv ?$$

Çözüm Adımları:

$$(p\vee p^{\prime })⊻(q\wedge q^{\prime })\equiv 1⊻0\equiv 1$$