1- Buders Önermeler

Önermeler Matematiği

Temel Kavramlar

Doğruluk Değeri (Truth Value)

• Bir önerme ele aldığımızda, bu önerme ya doğrudur (D/True) - 1 ya da yanlıştır (Y/False) - 0.
• Önerme sayısına n dersek, $2^n$ tane doğruluk değeri ortaya çıkar.

Bir Önermenin Olumsuzu (Negation of a Proposition)

• $p:$ Türkiye’nin başkenti İstanbul’dur. (Yanlış) önerme $\to$ 0
• Olumsuzu:
  • $\neg p:$ Türkiye’nin başkenti İstanbul değildir. (Doğru) önerme $\to$ 1
• Bir önermenin doğruluk değerini değiştirir. $\overline{p},\neg p,p,p^{\prime }$ şekillerinde gösterilebilir.

Açık Önerme (Open Proposition)

• Önermenin fonksiyon hâline getirilmiş biçimidir. $p,q,r,\dots \to p(x),q(x),r(x),\dots$ $p(x):x+1<5$
• $p(1):2<5⟹p(1)\equiv 1$
• $p(5):6<5⟹p(5)\equiv 0$

Soru: $p(x):x+3<7$ önermesinin olumsuzu nedir?

$\neg p(x):x+3\ge 7$

---

Bileşik Önermeler ve Bağlaçlar

Bileşik Önerme (Compound Proposition): İki veya daha fazla önermenin bağlaçlar yardımıyla birleştirilmesiyle ortaya çıkan yeni önerme.

”VE” Bağlacı $(\wedge )$ (AND)

• $\wedge$ ile gösterilir.
• $p\wedge q\equiv \text{ p ve q s¸eklinde okunur.}$
• Özellikleri:
  1. $p\wedge q\equiv q\wedge p$
  2. $p\wedge p\equiv p$
  3. $p\wedge \neg p\equiv 0$
  4. $p\wedge 1\equiv p$
  5. $p\wedge 0\equiv 0$

“VEYA” Bağlacı $(\vee )$ (OR)

• $\vee$ ile gösterilir.
• $p\vee q\equiv \text{ p veya q s¸eklinde okunur.}$
• Özellikleri:
  1. $p\vee q\equiv q\vee p$
  2. $p\vee p\equiv p$
  3. $p\vee \neg p\equiv 1$
  4. $p\vee 1\equiv 1$
  5. $p\vee 0\equiv p$

Ortak Özellikler

Dağılma Özellikleri

• $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$
• $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$

Birleşme Özelliği (Parantezi Kaldırma)

• $p\wedge (q\wedge r)\equiv p\wedge q\wedge r$
• $p\vee (q\vee r)\equiv p\vee q\vee r$

De Morgan Kuralları

• $\neg (\wedge )\equiv \vee \neg (\vee )\equiv \wedge$
• $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$
• $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$

Örnekler

• Örnek 1: $(p\vee q)\wedge (p\vee \neg q)\text{ ifadesinin en sade haˆlini yazın.}$
  • $p\vee (q\wedge \neg q)$
  • $p\vee 0\equiv p$
• Örnek 2: $p\vee (q\vee \neg p)\text{ ifadesinin en sade haˆlini yazın.}$
  • $p\vee q\vee \neg p$
  • $(p\vee \neg p)\vee q$
  • $1\vee q\equiv 1$
• Örnek 3: $p\vee (\neg q\wedge r)\text{ ifadesini olumsuzlayın.}$
  • $\neg p\wedge (q\vee \neg r)$

“İSE” Bağlacı $(⟹)$ (if)

• $⟹\text{ veya }\to \text{ s¸eklinde go¨sterilir.}$
• $p⟹q\equiv \text{ p ise q s¸eklinde okunur.}$
• $p⟹q\text{ifadesindeki p hipotez, q ise sonuc¸tur.}$
• Özellikleri:
  1. $p⟹q\not\equiv q⟹p$
  2. $p⟹q\equiv \neg p\vee q$
     • Not: İSE bağlacının olumsuzu veya sadeleştirilmesi gereken durumlarda bu denklik kullanılır.
  3. $p⟹p\equiv 1$
  4. $p⟹\neg p\equiv \neg p$
  5. $p⟹1\equiv 1$
  6. $p⟹0\equiv \neg p$

Karşıtı (Converse), Tersi (Inverse) ve Karşıt Tersi (Contrapositive)

• Önerme: $p⟹q$
• Karşıtı: $q⟹p$ (Önermeler yer değiştirir.)
• Tersi: $\neg p⟹\neg q$ (İki önermenin de olumsuzu alınır.)
• Karşıt Tersi: $\neg q⟹\neg p$ (İki önerme hem yer değiştirir hem de olumsuzu alınır.)
• Not: Bir önermenin doğruluk değeri ile karşıt tersinin doğruluk değeri daima aynıdır.

”ANCAK VE ANCAK” Bağlacı $(⟺)$ (if and only if)

• $⟺\text{ veya}\leftrightarrow \text{sembolu¨ ile go¨sterilir.}$
• Çift yönlü koşullu önerme (Biconditional) olarak da bilinir.
• Özellikleri:
  1. $p⟺1\equiv p$
  2. $p⟺p\equiv 1$
  3. $p⟺0\equiv \neg p$
  4. $p⟺\neg p\equiv 0$
  5. $p⟺q\equiv q⟺p$
  6. $\boxed{p⟺q\equiv (p⟹q)\wedge (q⟹p)\equiv (\neg p\vee q)\wedge (\neg q\vee p)}$

“YA DA” Bağlacı $(\oplus \text{ ya da }⊻)$ (exclusive or)

• $\oplus \text{ veya }⊻\text{ sembolleriyle go¨sterilir.}$
• $p\oplus q\equiv \text{p ya da q s¸eklinde okunur.}$
• Özellikleri:
  1. $p\oplus q\equiv q\oplus p$
  2. $p\oplus p\equiv 0$
  3. $p\oplus \neg p\equiv 1$
  4. $p\oplus 1\equiv \neg p$
  5. $p\oplus 0\equiv p$

---

Temel Tanımlar ve Niceleyiciler

Totoloji ve Çelişki

• Totoloji (Tautology): Sonucu her zaman $1$ çıkan bileşik önermelere denir.
• Çelişki (Contradiction): Sonucu her zaman 0 çıkan bileşik önermelere denir.

Mantıksal Olarak Eşdeğer (Logically Equivalent)

• İki bileşik önermenin doğruluk değerleri her koşul altında aynı sonucu veriyorsa, bu iki bileşik önerme birbirine mantıksal olarak eşdeğerdir.
• Tespit Yöntemleri:
  1. Doğruluk tablosu kullanımı (Truth Table)
  2. Sadeleştirme yolu (Simplification)

Niceleyiciler (Quantifiers)

• $\forall \text{: Her (Evrensel niceleyici)}$
• $\exists \text{: Bazı (Varlıksal niceleyici)}$
• Olumsuzları:
  • $\neg (\forall )\equiv \exists$
  • $\neg (\exists )\equiv \forall$

Örnekler:

• Önerme 1: $\forall x\in \mathbb{N},x<5$ (Her doğal sayı 5’ten küçüktür.)
  • Bu önermenin doğruluk değeri $\equiv 0$ (Yanlış).
• Önerme 2: $\exists x\in \mathbb{R},2x-3=7$ (Bazı reel sayılar için 2x-3=7’dir.)
  • Bu önermenin doğruluk değeri $\equiv 1$ (Doğru, $x=5$ için sağlar).