Not: Ders hârici bir anlatım için 1- Buders Önermeler ve 1- Temeller (Mantık) notlarına bakılması tavsiye edilir.
Not 2: Notlar ders anlatımına bire-bir sadık değildir. Derste anlatılanların hepsini kapsar ancak ilave eklemeler de vardır.

Ünite 2: Mantık | 03.10.2025

Önerme: Doğru ya da yanlış, kesin hüküm bildiren ifade

Doğruluk Değeri (Truth Value)

Bir önerme ele aldığımızda, bu önerme ya doğrudur (1) ya da yanlıştır (0)
Bir önermenin denkliği $\equiv$ sembolü ile gösterilir. Mesela $p \equiv 1$ veya $q \equiv 0$ gibi.

Denk Önermeler

Doğruluk değerleri aynı olan önermelerdir

Örnek

$p$ : Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.
$q$ : $- 3$ ‘ün karesi $9$ ‘dur.
Rahatlıkla söyleyebiliriz ki, $p \equiv q$

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) (Negation of a Proposition)

Bir önermenin doğruluk değerini değiştirir.
- $p$ : Türkiye’nin başkenti Ankara’dır. $p \equiv 1$
- $p^{'}$ : Türkiye’nin başkenti Ankara değildir. $p^{'} \equiv 0$
- $p$ : $(- 5)^{2} = 25$ ‘tir. $p \equiv 1$
- $p^{'}$ : $(- 5)^{2} \neq = 25$ $p^{'} \equiv 0$

Doğruluk Tablosu (Truth Table)

Önerme sayısına n dersek, $2^{n}$ tane doğruluk değeri ortaya çıkar.
$p$ ve $q$ olmak üzere $2$ önermemiz var diyelim, bu durumda $4$ adet doğruluk değeri ortaya çıkacaktır.

$p$	$q$
1	1
1	0
0	1
0	0

Eğer $r$ önermesini de eklersek, bu sefer $3$ adet önermemiz olacağı için $8$ adet doğruluk değeri ortaya çıkacaktır. Bir önermenin olumsuzu ya da bağlaçlarla birbirine bağlanması bu sayıya dâhil değildir. Örneğin tabloya $p^{'}$ önermesini eklersek hâlâ diğer önermelerin sayısına göre tablodaki değerler $4$ ya da $8$ olacaktır. Sadece ilave bir satır eklenir o kadar.

$p$	$q$	$r$	$p^{'}$
1	1	1	0
1	1	0	0
1	0	1	0
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1
0	0	0	1

Bileşik Önerme ve Bağlaçlar (Compound Proposition and Logical Operators)

Bileşik Önerme: İki veya daha fazla önermenin bağlaçlar yardımıyla birleştirilmesiyle ortaya çıkan yeni önerme.

a) “VE” Bağlacı ( $\land$ ) (AND)

Yazılımda gördüğümüz && operatörü esasında $\land$ bağlacıdır.

int sayi = 1;
 
if(sayi%2 == 0 && sayi<10){
sayi+=1;
}
else{
sayi+=3
}

Buradan da anlaşılacağı üzere, eğer sayi’nin 2 ile modu $0$ değerini veriyorsa VE sayi $10$ ‘dan küçükse, bu koşul sağlandığı sürece sayi değişkenine $1$ ekliyor. Eğer bu koşulu sağlamıyorsa $3$ ekliyor.
Yani hem sayi’nın 2 ile modu $0$ olmalı hem de 10’dan küçük olmalı. Doğruluk tablosunda $\land$ bağlacını şöyle gösterebiliriz:

$p$	$q$	$p \land q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

Matematikçiler daha ziyade bunu çarpma işlemi olarak da ele alıyor. 0 etkisiz eleman olduğu için neyle çarparsan 0 gelecektir gibi bir mantık. Bu şekilde de anlaşılabilir tabii.

Associative Laws (Birleşme Kuralları)

Aynı operatörler arasında gruplamanın önemi yoktur.

$(p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)$
$(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$

Örnek 1: $[p^{'} \land (p \land q)] \land (0^{'} \land p) \equiv ?$

$[(p^{'} \land p) \land q] \land (1 \land p)$

$(0 \land q) \land (p)$

$0 \land p \equiv 0$

“VEYA” Bağlacı ( $\lor$ ) (OR)

Yazılımda gördüğümüz || operatörüne karşılık gelir

int sayi = 2;
 
while(sayi%2 == 0 || sayi%3==0){
sayi+=1;
}

Eğer sayi’nin $2$ ile modu $0$ ‘a eşitse VEYA sayi’nin $3$ ile modu $0$ ‘a eşitse, sayıyı $1$ artırıyor. Yani ikisinden birini sağlaması yeterli. Olumsuz olduğu tek durum ikisinin de doğruluk değerinin $0$ olduğu durumdur.

$p$	$q$	$p \lor q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$

Matematikçiler bunu toplama işlemi olarak da ele alıyor tabii.

Örnek: Aşağıda verilen önermelerin en sade hâlini yazınız.

A) $(p \lor 1) \land (q \lor q^{'})$

$1 \land 1 \equiv 1$
- Mantıken $(q \lor q^{'})$ önermesinin doğruluk değeri $1$ olacaktır.

B) $(q \lor 0) \lor (q^{'} \lor 1)$

$q \lor 1 \equiv 1$

C) $(p \land p^{'}) \lor (q \land 0)$

$0 \lor 0 \equiv 0$

Örnek: $p \equiv q^{'} \equiv r \equiv 0$ ise

$[(p^{'} \land r) \lor (q \land r^{'})] \lor [(p^{'} \land r^{'}) \land (q^{'})^{'}] ifadesinin en sade h \overset{a}{ˆ} li nedir?$

$p^{'} \equiv q \equiv r^{'} \equiv 1$

$\equiv [(1 \land 0) \lor (1 \land 1)] \lor [(1 \land 1) \land 1]$

$\equiv (0 \lor 1) \lor (1) \equiv 1$

Örnek (Sınavda çıkabilir): $[(p^{'} \land r)^{'} \land r] \lor (p^{'} \lor r)^{'} \equiv ?$

$\equiv [(p \lor r^{'}) \land r] \lor (p \land r^{'})$
- $\equiv [(r \land r^{'}) \lor (r \land p)] \lor (p \land r^{'})$
  - $\equiv (0 \lor r \land p) \lor (p \land r^{'}) \equiv (r \land p) \lor (p \land r^{'})$
    - $\equiv p \land (r \lor r^{'}) \equiv p \land 1 \equiv p$

“YA DA” Bağlacı $(⊻)$ (exclusive or)

$p$	$q$	$p ⊻ q$
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Örnek: $p \lor q \equiv 0, q \lor r \equiv 1$ ise $(p ⊻ q^{'}) \land (p^{'} ⊻ r) \equiv ?$

$p = 0, q = 0, r = 1$
$(0 \veebar 1) \land (1 \veebar 1) \equiv 1 \land 0 \equiv 0

Örnek: $(p \lor p^{'}) ⊻ (q \land q^{'}) \equiv=$

$1 ⊻ 0 \equiv 1$

Noetic Logos

Gezgin

Bilişim Matematiği - 2. Hafta

Ünite 2: Mantık | 03.10.2025

Doğruluk Değeri (Truth Value)

Denk Önermeler

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) (Negation of a Proposition)

Doğruluk Tablosu (Truth Table)

Bileşik Önerme ve Bağlaçlar (Compound Proposition and Logical Operators)

a) “VE” Bağlacı ( $\land$ ) (AND)

Associative Laws (Birleşme Kuralları)

Örnek 1: $[p^{'} \land (p \land q)] \land (0^{'} \land p) \equiv ?$

$[(p^{'} \land p) \land q] \land (1 \land p)$

$(0 \land q) \land (p)$

$0 \land p \equiv 0$

“VEYA” Bağlacı ( $\lor$ ) (OR)

Örnek: Aşağıda verilen önermelerin en sade hâlini yazınız.

A) $(p \lor 1) \land (q \lor q^{'})$

B) $(q \lor 0) \lor (q^{'} \lor 1)$

C) $(p \land p^{'}) \lor (q \land 0)$

Örnek: $p \equiv q^{'} \equiv r \equiv 0$ ise

$[(p^{'} \land r) \lor (q \land r^{'})] \lor [(p^{'} \land r^{'}) \land (q^{'})^{'}] ifadesinin en sade h \overset{a}{ˆ} li nedir?$

$p^{'} \equiv q \equiv r^{'} \equiv 1$

$\equiv [(1 \land 0) \lor (1 \land 1)] \lor [(1 \land 1) \land 1]$

Örnek (Sınavda çıkabilir): $[(p^{'} \land r)^{'} \land r] \lor (p^{'} \lor r)^{'} \equiv ?$

“YA DA” Bağlacı $(⊻)$ (exclusive or)

Örnek: $p \lor q \equiv 0, q \lor r \equiv 1$ ise $(p ⊻ q^{'}) \land (p^{'} ⊻ r) \equiv ?$

Örnek: $(p \lor p^{'}) ⊻ (q \land q^{'}) \equiv=$

Grafik Görünümü

İçindekiler

Noetic Logos

Gezgin

Bilişim Matematiği - 2. Hafta

Ünite 2: Mantık | 03.10.2025

Doğruluk Değeri (Truth Value)

Denk Önermeler

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) (Negation of a Proposition)

Doğruluk Tablosu (Truth Table)

Bileşik Önerme ve Bağlaçlar (Compound Proposition and Logical Operators)

a) “VE” Bağlacı (∧) (AND)

Associative Laws (Birleşme Kuralları)

Örnek 1: [p′∧(p∧q)]∧(0′∧p)≡?

[(p′∧p)∧q]∧(1∧p)

(0∧q)∧(p)

0∧p≡0

“VEYA” Bağlacı (∨) (OR)

Örnek: Aşağıda verilen önermelerin en sade hâlini yazınız.

A) (p∨1)∧(q∨q′)

B) (q∨0)∨(q′∨1)

C) (p∧p′)∨(q∧0)

Örnek: p≡q′≡r≡0 ise

[(p′∧r)∨(q∧r′)]∨[(p′∧r′)∧(q′)′] ifadesinin en sade haˆli nedir?

p′≡q≡r′≡1

≡[(1∧0)∨(1∧1)]∨[(1∧1)∧1]

Örnek (Sınavda çıkabilir): [(p′∧r)′∧r]∨(p′∨r)′≡?

“YA DA” Bağlacı (⊻) (exclusive or)

Örnek: p∨q≡0 , q∨r≡1 ise (p⊻q′)∧(p′⊻r)≡?

Örnek: (p∨p′)⊻(q∧q′)≡=

Grafik Görünümü

İçindekiler

a) “VE” Bağlacı ( $\land$ ) (AND)

Örnek 1: $[p^{'} \land (p \land q)] \land (0^{'} \land p) \equiv ?$

$[(p^{'} \land p) \land q] \land (1 \land p)$

$(0 \land q) \land (p)$

$0 \land p \equiv 0$

“VEYA” Bağlacı ( $\lor$ ) (OR)

A) $(p \lor 1) \land (q \lor q^{'})$

B) $(q \lor 0) \lor (q^{'} \lor 1)$

C) $(p \land p^{'}) \lor (q \land 0)$

Örnek: $p \equiv q^{'} \equiv r \equiv 0$ ise

$[(p^{'} \land r) \lor (q \land r^{'})] \lor [(p^{'} \land r^{'}) \land (q^{'})^{'}] ifadesinin en sade h \overset{a}{ˆ} li nedir?$

$p^{'} \equiv q \equiv r^{'} \equiv 1$

$\equiv [(1 \land 0) \lor (1 \land 1)] \lor [(1 \land 1) \land 1]$

Örnek (Sınavda çıkabilir): $[(p^{'} \land r)^{'} \land r] \lor (p^{'} \lor r)^{'} \equiv ?$

“YA DA” Bağlacı $(⊻)$ (exclusive or)

Örnek: $p \lor q \equiv 0, q \lor r \equiv 1$ ise $(p ⊻ q^{'}) \land (p^{'} ⊻ r) \equiv ?$

Örnek: $(p \lor p^{'}) ⊻ (q \land q^{'}) \equiv=$