Tümevarım İspat

• Tümevarım ile ispata ne zaman ihtiyaç duyarız?
  • Genellikle eşitliklerin doğruluğunun ispatlanmasında kullanılır.
    • $1+2+3+\cdots +n=\frac{n.(n+1)}{2},n\in {\mathbb{N}}^{+}$
    • $1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6},n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Quote

Matematiksel tümevarım bir önermenin genellikle tüm doğal sayılar için doğru olduğunu göstermek üzere kullanılan matematiksel kanıtlama yöntemidir. Bu yöntem, sonsuz sayıda durumu sonlu bir akıl yürütme zinciri ile kanıtlama imkanı sağlar.

3 adımlı ispat yöntemidir.

• $1+2+3+\cdots +n=\frac{n.(n+1)}{2},n\in {\mathbb{N}}^{+}$ için;
  

1. $n=1$ doğru mu? (Kontrol edilmelidir)
   1. “Evet, doğrudur” dersek:
2. $n=k$ doğru kabul edilir.
3. $n=k+1$ doğru olduğu gösterilmeye çalışılır.

Örnek

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n.(n+1)}{2},n\in {\mathbb{N}}^{+}$ eşitliğinin doğruluğunu ispatlayın.

1. Adım: $n=1\text{ dog˘ru mu?}$

• $1=\frac{1.(2)}{2}=1\text{ dog˘ru.}$

2. Adım: $n=k\text{ dog˘ru kabul edelim.}$

• $1+2+3+\cdots +k=\frac{k.(k+1)}{2},k\in {\mathbb{N}}^{+}$

3. Adım: $n=k+1\text{ dog˘ru mu?}$

$\underset{\frac{k(k+1)}{2}}{\underbrace{1+2+\cdots +k}}+k+1\stackrel{?}{=}\frac{(k+1).(k+2)}{2}$

$\frac{k.(k+1)+2k+2}{2}\stackrel{?}{=}\frac{(k+1).(k+2)}{2}$

• $[k.(k+1)+2k+2]=k(k+1+2)+2$
  • $=(k^2+3k)+2=(k+2).(k+1)$

$\frac{(k+2)(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

---

Örnek

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6},n\in \mathbb{Z}+$ eşitliğinin doğruluğunu ispatlayınız.

1. Adım: $n=1\text{ dog˘ru mu?}$

• $1=\frac{1.(2).(3)}{6}=1\text{, dog˘ru.}$

2. Adım: $n=k\text{ dog˘ru kabul edelim.}$

$1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2=\frac{k.(k+1).(2k+1)}{6},n\in \mathbb{Z}+$

3. Adım: $n=k+1\text{ dog˘ru mu?}$

$\underset{\frac{k.(k+1).(2k+1)}{6}}{\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2}}+(k+1{)}^2\stackrel{?}{=}\frac{(k+1).(k+2).(2k+3)}{6}$

$\frac{k.(k+1).(2k+1)+6(k+1{)}^2}{6}\stackrel{?}{=}\frac{(k+1).(k+2).(2k+3)}{6}$

$\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\stackrel{?}{=}\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

• $(2k^2+7k+6)=(2k+3)(k+2)$

$\boxed{\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$