Determinant

• Kare matrislerde hesaplanan sabit bir değerdir
• Determinant, bir sayıya eşittir.
• Bu sayı, “denklem sistemleri” hakkında çözülebilir mi çözülemez mi yorumu yapmamızı sağlar.
• Bir matrisin tersinin varlığı hakkında bilgi verir.

Determinant Hesaplama

• Sadece kare matrislerin determinantı vardır.
• $A$ matrisinin determinantı 2 şekilde gösterilir.

1. $\det A$

2. $|A|$

---

1x1 Matrisin Determinantı

• 1x1 matrislerin determinantı, kendisine eşittir.
• $A=[5]⟹\det A=5$

2x2 Matrisin Determinantı

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\det A=ad-bc$

Soru: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]⟹\det A=?$

$\det A=4-6=-2$

Soru: $\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& x\end{array}\right]=6⟹x=?$

$3x-8=6⟹3x=14\to x=\frac{14}{3}$

3x3 Matrisin Determinantı

• Sarrus yöntemi ile hesaplanır.

$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& k\end{array}\right]\det A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& k\\ a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& a& b\\ d& e& f& d& e\\ g& h& k& g& h\end{array}\right]$

$\det A=[(aek).(bfg).(cdh)]-[(ceg)-(afh)-(bdk)]$

4x4, 5x5, 6x6, $\dots$ kare matrislerin determinantı

Kofaktörler ile Determinant Hesaplama

Ön Bilgi

---

$A={\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 5& -2& 1\\ 4& 5& 6\end{array}\right]}_{3x3}$

$A_{3x3}\to \text{ Matris}$

$\boxed{A_{21}\to a_{21}\text{ elemanının kofakto¨ru¨.}}$

$A_{mn}=(-1{)}^{m+n}.\left|\begin{array}{ccc}& & \\ & & \end{array}\right|$

• $\left|\begin{array}{ccc}& & \\ & & \end{array}\right|=$m. satır, n. sütun matristen atıldıktan sonra kalan kısmın determinantı
• $A_{31}=(-1{)}^4\times (2+6)=8$

---

Not!

Kofaktör ile determinant hesaplama, tüm kare matrislerin determinantını almamızı sağlar.

• İstenilen satır ve sütun seçilir. (İşlem kolaylığı için tercihen içinde 0 olanları seçmeliyiz)
• Hangi satır veya hangi sütunun seçildiği önemli değildir. Hepsinden aynı sonuç çıkar.
• Her bir elemanla onun kofaktörü çarpılır.

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|⟹\det =a_{11}.A_{11}+a_{12}.A_{12}+a_{13}.A13$

Soru $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& -3& 2\\ 0& 1& 4\end{array}\right]\det A=?$

Kofaktör İle

$\det A=1.A_{11}+2.A_{12}+0.A_{13}=A_{11}+2A_{12}$

$A_{11}=(-1{)}^2\times (-12-(2))=-14$

$2A_{12}=2.\left[(-1{)}^3\times (4-0)\right]=-8$

$\to \det A=-22$

Sarrus İle

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& -3& 2\\ 0& 1& 4\\ 1& 2& 0\\ 1& -3& 2\end{array}\right]=[-12+0+0]-[0+2+8]=-22$

---

Soru $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& 1& 2& 4\\ 2& -1& 3& 0\\ 0& 2& 1& 5\end{array}\right]\det A=?$

$\det A=A_{11}+2A_{31}$

$A_{11}=(-1{)}^2\times \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ -1& 3& 0\\ 2& 1& 5\\ 1& 2& 4\\ -1& 3& 0\end{array}\right|=(11-14)=-3$

$2.A_{31}=2.(-1{)}^4\times \left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 2& 4\\ 2& 1& 5\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right|=15-15=0$

$\det A=-3$

Determinant Kuralları

1. Bir matriste tamamen 0’dan oluşan satır veya sütun bulunursa, o matrisin determinant 0 olur.
2. Bir matriste bir satır veya sütun, başka bir satır veya sütunun aynısı veya katı ise, determinant 0 olur.
3. Bir matriste iki satır veya iki sütun yer değiştirirse, determinantın işareti değişir
4. Bir matrisin bir satırı veya bir sütunu, bir sayı ile çarpılırsa, determinant da o sayı ile çarpılmalıdır.

5: Bir satır (sütun için geçerli değil!) bir başka satıra eklenir veya çıkarılırsa, bir satır bir sayı ile çarpılıp diğer bir satıra eklenir veya çıkarılırsa, determinant değişmez.

$\det \left|\begin{array}{cc}2010& 2011\\ 2012& 2013\end{array}\right|=\det \left|\begin{array}{cc}2010& 2011\\ 2& 2\end{array}\right|$

$\to 4020-4022=-2$

6: Aşağıdaki matrislerde determinant, köşegendeki elemanların çarpımına eşittir.

Köşegen Matris

$\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right]$

Alt Üçgen Matris

$\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ d& b& 0\\ e& f& c\end{array}\right]$

Üst Üçgen Matris

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& d& e\\ 0& 0& f\end{array}\right]$