Bilişim Matematiği - 8. Ders

Ünite 5: Logaritma | 14.11.2025

Üstel Fonksiyon

Aşağıdaki fonksiyona Üstel Fonksiyon denir.

$$a\in {\mathbb{R}}^{+}-\{1\},f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+},f(x)=a^x$$

Logaritma Fonksiyonu

• Üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna denir.

$$f(x)=a^x⟹f^{-1}(x)=lo{g}_{a}x$$

Örnek 1

$$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+},f(x)=3^{x-1}⟹f^{-1}(x)=?$$

Çözüm:

$$\begin{array}{rlrlr}& y=3^{x-1}& & & \\ & {\log }_{3}y={\log }_3{3}^{x-1}& ⟹& {\log }_{3}y=(x-1).{\log }_{3}3& \\ & {\log }_{3}y+1=x& ⟹& f^{-1}(x)=1+lo{g}_{3}x& \end{array}$$

Not

Üstel fonksiyonlar logaritmik, logaritmik fonksiyonlar da üstel olarak ifade edilebilir.

---

Örnek 2

$$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+},f(x)=5^{x^2-3}⟹f^{-1}(x)=?$$

Çözüm:

$$\begin{array}{rl}& y=5^{x^2-3}\\ & {\log }_{5}y={\log }_5{5}^{x^2-3}⟹{\log }_{5}y=x^2-3\\ & {\log }_{5}y+3=x^2⟹x=\pm \sqrt{lo{g}_{5}y+3}\\ & f^{-1}(x)=\pm \sqrt{lo{g}_{5}x+3}\end{array}$$

---

En Geniş Tanım Aralığı (Önemli)

$${\log }_{h(x)}g(x)$$

Yukarıdaki fonksiyonunda şu koşullar sağlanmalıdır:

$$\begin{array}{rl}& h(x)>0\\ & h(x)\ne 1\\ & g(x)>0\end{array}$$

---

Örnek 3: Aşağıdaki fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir?

$$y={\log }_{9-x}(x-2)$$

Çözüm:

$$\begin{array}{rl}& 9-x>0,9-x\ne 1\\ & x-2>0\\ & ⟹x<9,x\ne 8,x>2\\ & ⟹\text{C¸.K}=(2,9)-\{8\}\end{array}$$

---

Örnek 4:

$$f:(2,+\infty )\to \mathbb{R},f(x)={\log }_5(x-2)\to f^{-1}(x)=?$$

Çözüm:

$$\begin{array}{rl}& y=lo{g}_5(x-2)\\ & 5^y=x-2,x=5^y+2\\ & f^{-1}(x)=5^x+2\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& 2^3=8\\ & lo{g}_2^8=3\end{array}}$$

---

Örnek 5 (Finalde Çıkabilir): Aşağıdaki ifade R’de tanımlı ise, m’nin en geniş tanım aralığı nedir?

$$\begin{array}{r}y=lo{g}_3(x^2+4x+2m-1)\end{array}$$

---

$$\text{Hatırlatma:}\boxed{\begin{array}{rl}& a{x}^2+bx+c\\ & \\ & \Delta =b^2-4ac\end{array}}$$

Çözüm:

• İkinci dereceden bir ifadenin $(ax2+bx+c)$ baş katsayısı pozitifken $(a=1>0)$, ifadenin daima pozitif olması için kökünün olmaması -yani diskriminantın $(\Delta )$ sıfırdan küçük olması- gerekir.
• Katsayılar: $b=4,a=1,c=2m-1$

$$\begin{array}{rl}& \Delta =16-4(2m-1)\\ & \Delta =20-8m\\ & 20-8m<0⟹8m>20⟹2m>5\\ & \\ & \mathbf{m}>\frac{5}{2}⟹\mathbf{m}\in \left(\frac{5}{2},+\infty \right)\end{array}$$