Bilişim Matematiği - 6. Ders

Ünite 4: Lineer Cebir (Matrisler ve Determinantlar) | 31.10.2025

Matris Çeşitleri

a) Kare Matris

• Satır ve sütun sayısı birbirine eşit olan matrislerdir.

$$A={\left[\begin{array}{ccc}\boxed{-1}& 4& 2\\ \frac{1}{5}& \boxed{5}& -3\\ -2& -5& \boxed{4}\end{array}\right]}_{3\times 3}$$

• Kutu içerisine alınanlar asal köşegen’dir.

---

b) Sıfır Matrisi

• Tüm elemanları 0 olan matrislere denir.

$$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

---

c) Birim Matris (I) - (Önemli)

• Bir kare matris üzerinde asal köşegen üzerindeki elemanların hepsi 1 ve diğer elemanlar 0’sa, bu matrise birim matris denir.

$$C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

---

d) Simetrik Matris

• Bir kare matriste tüm elemanlar asal köşegene göre simetrik ise, bu matrise simetrik matris denir.

$$\left[\begin{array}{ccc}1& \boxed{-5}& \boxed{3}\\ \boxed{-5}& 4& \boxed{2}\\ \boxed{3}& \boxed{2}& 7\end{array}\right]$$

---

e) Ters Simetrik Matris

• Bir kare matrisin asal köşegeni üzerindeki elemanları 0 VE asal köşegene göre simetrik olan elemanlarının toplamı 0 İSE, bu matris ters simetrik matristir.

$$E=\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ -5& 0\end{array}\right]T=\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 4\\ -5& 0& 3\\ -4& -3& 0\end{array}\right]$$

---

f) Köşegen Matris

• Bir kare matriste asal köşegen dışında kalan tüm elemanlar 0 İSE, bu matrise köşegen matris denir.

$$F=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 4\end{array}\right]K=\left[\begin{array}{ccc}-5& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

Not

Sınavda $4\times 4$ bir köşegen matris oluşturun, $3\times 3$ ters simetrik matris oluşturun $\dots$ gibi sorular gelebilir.

---

g) Skaler Matris (Önemli)

• Bir köşegen matriste asal köşegen üzerindeki tüm elemanlar aynı İSE, bu matris skaler matristir.

$$3I=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

---

Bir Matrisin Skalerle Çarpımı

Örnek 1:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 6& -1& 3\end{array}\right]$$

a) $3A$ matrisini oluşturun.

$3A=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& -6\\ 18& -3& 9\end{array}\right]$

b) $-2A$ matrisini oluşturun.

$-2A=\left[\begin{array}{ccc}-2& -4& 4\\ -12& 2& -6\end{array}\right]$

c) $\frac{A}{2}$ matrisini oluşturun.

$\frac{A}{2}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 1& -1\\ 3& \frac{-1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right]$

---

Matrislerin Toplanması ve Çıkarılması

• Aynı türden 2 matris, karşılıklı elemanların toplanması veya çıkartılması şeklinde, toplama ve çıkarma işlemine tâbi tutulabilir.

Örnek 2:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-2& 5\\ 4& -3\\ 7& \frac{5}{2}\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}-3& -6\\ -5& 4\\ -8& \frac{7}{2}\end{array}\right]$$

a) 2A+3B matrisini bulunuz.

$=\left[\begin{array}{cc}-4& 10\\ 8& -6\\ 14& 5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-9& -18\\ -15& 12\\ -24& \frac{21}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-13& -8\\ -7& 6\\ -10& \frac{31}{2}\end{array}\right]$

b) 3B-A matrisini bulunuz.

$=\left[\begin{array}{cc}-9& -18\\ -15& 12\\ -24& \frac{21}{2}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}-2& 5\\ 4& -3\\ 7& \frac{5}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-7& -23\\ -19& 15\\ -31& 8\end{array}\right]$

---

Örnek 3:

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 3\end{array}\right]\wedge f(x)=3x-2⟹f(A)=?$$

Çözüm Adımları:

$f(A)=3A-2I$

$=3\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 3\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& -12\\ 6& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -12\\ 6& 7\end{array}\right]$

---

Örnek 4:

$$a\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right]⟹a\times b=?$$

Çözüm Adımları:

$\left[\begin{array}{c}3a\\ 4a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ 2b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right]$

$\to 3a+2=8\wedge 4a+2b=0$

$\to 3a=6⟹a=2$
$\to 4(2)+2b=0⟹8+2b=0⟹b=-4$

$$\to \boxed{a\cdot b=-8}$$

---

Matrislerin Çarpımı

• İki matrisin çarpılabilmesi için;
  1. Boyutları uygun olmalı $(m\times \underline{n})\cdot (\underline{n}\times k)=(m\times k)$
  2. Matrisler çarpılırken “satır $\times$ sütun, yaz satıra” mantığı kullanılmalı.

Örnek 5:

$$A={\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& 5\end{array}\right]}_{2\times 2}B={\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 3\\ 1& 5& -1\end{array}\right]}_{2\times 3}⟹A\times B=?$$

Çözüm Adımları:

$A\times B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& 5\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 3\\ 1& 5& -1\end{array}\right]$

$\to \left[\begin{array}{ccc}[(-2\cdot -2)+(4\cdot 1)]& [(-2\cdot 4)+(4\cdot 5)]& [(-2\cdot 3)+(4\cdot -1)]\\ [(3\cdot -2)+(5\cdot 1)]& [(3\cdot 4)+(5\cdot 5)]& [(3\cdot 3)+(5\cdot -1)]\end{array}\right]$

$$\to \left[\begin{array}{ccc}8& 12& -10\\ -1& 37& 4\end{array}\right]$$

---

Örnek 6:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& -4& 1\\ 3& 2& -1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}3& -8\\ 4& 1\\ -1& 2\end{array}\right]⟹A\times B=?$$

Çözüm Adımları:

$$A\times B=\left[\begin{array}{cc}-23& 14\\ 18& -24\end{array}\right]$$

---

Örnek 7:

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]⟹A^{17}=?$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}{A}^2& =A\times A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-8& 0\\ 0& -8\end{array}\right]=-8I\\ & \\ A^{17}& =A^{16}\times A=(A^2{)}^8\times A=(-8I{)}^8\times A\\ & \\ & =\left[(-8{)}^8\times I^8\times A\right]=\left[8^8\times I\times A\right]=8^{8}A=(2^3{)}^{8}A\\ & \\ & =(2^3{)}^{8}A=2^{24}A=2^{24}\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{2}^{25}& 3\cdot 2^{24}\\ -2^{26}& -2^{25}\end{array}\right]\end{array}$$

---

Bir Matrisin Transpozu (Devriği)

• A matrisi $(m\times n)$ boyutunda ise, A’nın transpozu $(A^T)$, $(n\times m)$ boyutundadır.

$$A={\left[\begin{array}{ccc}-2& 5& 3\\ 4& 7& -1\end{array}\right]}_{2\times 3}⟹A^T={\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 5& 7\\ 3& -1\end{array}\right]}_{3\times 2}$$

---

Örnek 8: A, 2. mertebeden bir kare matris olmak üzere, aşağıdaki eşitlik veriliyor. Buna göre A matrisinin tüm elemanlarının toplamını bulunuz.

$$A+A^T=\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 5& -6\end{array}\right]$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}A& =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]⟹A^T=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\\ & \\ A+A^T& =\left[\begin{array}{cc}a+a& b+c\\ c+b& d+d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2a& b+c\\ b+c& 2d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 5& -6\end{array}\right]\\ & \\ & 2a=4⟹a=2\\ & b+c=5\\ & 2d=-6⟹d=-3\end{array}$$ $$\sum A=2+5-3=4$$

---