Bilişim Matematiği - 3. Ders

Ünite 2: Mantık | 10.10.2025

Koşullu Önermeler

a) Tek Yönlü Koşullu Önerme (“İSE” Bağlacı) (⇒)

• Sonucun 0 olduğu tek durum, birinci önermenin doğru (1), ikinci önermenin yanlış (0) olduğu durumdur. (100 kuralı)

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$	$\mathbf{p}⟹\mathbf{q}$
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

$$\boxed{p⟹q\equiv p^{\prime }\vee q}$$

---

Örnek 1: Aşağıdaki ifadenin doğru olduğu bilindiğine göre, p, q ve r’nin doğruluk değerini bulunuz.

$${\left[(p\vee q)⟹(q\vee r)\right]}^{\prime }\equiv 1$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& \equiv {\left[(p^{\prime }\wedge q^{\prime })\vee (q\vee r)\right]}^{\prime }\equiv 1\\ & \\ & \equiv \left[\underset{1}{\underbrace{(p^{\prime }\vee q^{\prime })}}\wedge \underset{1}{\underbrace{(q^{\prime }\wedge r^{\prime })}}\right]\equiv 1\\ & \\ & \to \boxed{q\equiv 0,r\equiv 0p\equiv 1}\end{array}$$

---

Örnek 2 (Sınavda çıkabilir): Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz.

$$(p^{\prime }⟹q^{\prime })⟹(p\vee q{)}^{\prime }\equiv ?$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& \equiv \left(p\vee q^{\prime }\right)⟹{\left(p\vee q\right)}^{\prime }\\ & \equiv \left(p^{\prime }\wedge q\right)\vee \left(p^{\prime }\wedge q^{\prime }\right)\equiv p^{\prime }\wedge \left(q\vee q^{\prime }\right)\\ & \equiv p^{\prime }\wedge 1\equiv \boxed{p^{\prime }}\end{array}$$

---

b) Çift Yönlü Koşullu Önerme (“ANCAK VE ANCAK” Bağlacı) (⇔)

• Her iki önermenin doğruluk değeri aynı ise sonuç doğru (1), farklı ise sonuç yanlıştır (0).

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$	$\mathbf{p}⟺\mathbf{q}$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

$$\boxed{p⟺q\equiv (p⟹q)\wedge (q⟹p)}$$

---

Örnek 3: Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz.

$$\mathbf{p}⟺(\mathbf{q}\vee {\mathbf{p}}^{\prime }{)}^{\prime }\equiv ?$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& \equiv p⟺\left(q^{\prime }\wedge p\right)\\ & \equiv \left[p⟹(q^{\prime }\wedge p)\right]\wedge \left[(q^{\prime }\wedge p)⟹p\right]\\ & \\ & \equiv \left[p^{\prime }\vee (q^{\prime }\wedge p)\right]\wedge \left[\underset{1}{\underbrace{(q\vee p^{\prime })\vee p}}\right]\\ & \\ & \equiv \left[(p^{\prime }\vee q^{\prime })\wedge \underset{1}{\underbrace{(p^{\prime }\vee p)}}\right]\wedge 1\equiv ({\mathbf{p}}^{\prime }\vee {\mathbf{q}}^{\prime })\end{array}$$

---

Örnek 4: Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz.

$$({\mathbf{p}}^{\prime }⟺\mathbf{q}{)}^{\prime }\vee (\mathbf{q}\wedge \mathbf{p}{)}^{\prime }\equiv ?$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& \equiv {\left[(p^{\prime }⟹q)\wedge (q⟹p^{\prime })\right]}^{\prime }\vee (q^{\prime }\vee p^{\prime })\\ & \equiv {\left[(p\vee q)\wedge (q^{\prime }\vee p^{\prime })\right]}^{\prime }\vee (q^{\prime }\vee p^{\prime })\\ & \equiv \left[(p^{\prime }\wedge q^{\prime })\vee (q\wedge p)\right]\vee (q^{\prime }\wedge p^{\prime })\\ & \\ & \equiv (p^{\prime }\wedge q^{\prime })\vee \underset{1}{\underbrace{(q\wedge p)\vee (q^{\prime }\wedge p^{\prime })}}\\ & \\ & \equiv ({\mathbf{p}}^{\prime }\wedge {\mathbf{q}}^{\prime })\vee 1\equiv 1\end{array}$$

---

İspat Yöntemleri

1- Doğrudan İspat

• $p⟹q$ önermesinde, $p\equiv 1$ kabul edilerek $q\equiv 1$ olduğunun gösterilmesidir.

Örnek 5: Aşağıdaki teoremi doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız.

$$\begin{array}{cc}& p:x^2-1=0\\ & q:x=1,x=-1\end{array}$$

Çözüm Adımları:

• $p\equiv 1$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $x^2-1=0$ denklemi doğrudur.

$$\begin{array}{rl}& x^2-1=0\\ & \to (x-1)(x+1)=0\\ & \to x-1=0\text{ veya }x+1=0\\ & \to \underset{q\text{ o¨nermesi}}{\underbrace{x=1\text{ veya }x=-1}}\end{array}$$

• $p$ önermesinin doğru olması, $q$ önermesinin de doğru olmasını gerektirdi. Böylece ispat tamamlandı.

---

2- Olmayana Ergi Yöntemi

• $p⟹q$ teoreminin, ona denk olan karşıt tersi ($q^{\prime }⟹p^{\prime }$) önermesinin ispatlanmasıdır.

Örnek 6: Aşağıdaki teoremi olmayana ergi yöntemiyle ispatlayınız.

$$\begin{array}{cc}& p:4x-32=0\\ & q:x=8\end{array}$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{cc}& p^{\prime }:4x-32\ne 0\\ & q^{\prime }:x\ne 8\end{array}$$ $$\underset{\text{Dog˘ru kabul edilir. }(\equiv 1)}{\underbrace{(\mathbf{x}\ne 8)}}⟹\underset{\text{ Dog˘rulug˘u go¨sterilir.}}{\underbrace{(4x-32\ne 0)}}$$

• $q^{\prime }$ önermesinin doğru olması $p^{\prime }$ önermesinin de doğru olmasını gerektirdi. O halde $q^{\prime }⟹p^{\prime }$ doğrudur. Bir önermenin karşıt tersi kendisine denk olduğu için $p⟹q$ da doğrudur.

---

Totoloji ve Çelişki

Totoloji

• Bileşenlerinin doğruluk değeri ne olursa olsun daima doğru (1) olan bileşik önermedir. Örn: $(p\vee p^{\prime })$

Çelişki

• Bileşenlerinin doğruluk değeri ne olursa olsun daima yanlış (0) olan bileşik önermedir. Örn: $(p\wedge p^{\prime })$

---

Örnek 7: Aşağıdaki önermenin bir totoloji olduğunu gösteriniz.

$$[({\mathbf{p}}^{\prime }\wedge \mathbf{p}{)}^{\prime }\vee \mathbf{q}{]}^{\prime }⟹\mathbf{q}$$

1. Yöntem:

$$\begin{array}{rl}& \equiv [(0{)}^{\prime }\vee q{]}^{\prime }⟹q\\ & \equiv [1\vee q{]}^{\prime }⟹q\\ & \equiv [1{]}^{\prime }⟹q\\ & \equiv 0⟹q\\ & \equiv 0^{\prime }\vee q\equiv 1\vee q\equiv \boxed{1}\end{array}$$

2. Yöntem (Tablo Yöntemi)

$\mathbf{p}$	$\mathbf{q}$	${\mathbf{p}}^{\prime }$	$\stackrel{\mathbf{a}}{\overbrace{{\mathbf{p}}^{\prime }\wedge \mathbf{p}}}$	${\mathbf{a}}^{\prime }$	$\stackrel{\mathbf{m}}{\overbrace{{\mathbf{a}}^{\prime }\vee \mathbf{q}}}$	${\mathbf{m}}^{\prime }$	$\mathbf{m}⟹\mathbf{q}$
1	1	0	0	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1
0	0	1	0	1	1	0	1

• $\mathbf{m}⟹\mathbf{q}$ sütunu daima 1 olduğundan önerme bir totolojidir.

---

Örnek 8: Aşağıdaki önermenin bir çelişki olduğunu gösteriniz.

$$(0\wedge 1)\wedge (\mathbf{p}\vee \mathbf{q}{)}^{\prime }\equiv 0$$

Çözüm Adımları:

$$\equiv 0\wedge (p^{\prime }\wedge q^{\prime })\equiv \boxed{0}$$

• “VE” bağlacında bir terimin 0 olması sonucu daima 0 yapacağından, bu önerme bir çelişkidir.

---

Bileşik Önermelerin Elektrik Devrelerine Uygulanması

• Paralel bağlı anahtarlar VEYA (∨), seri bağlı anahtarlar VE (∧) bağlacı ile ifade edilir.

---

Örnek 9: Aşağıdaki devreye karşılık gelen bileşik önermeyi yazarak devreden akım geçip geçmediğini bulunuz.

Çözüm Adımları:

$$\left([(\mathbf{p}\vee \mathbf{r})\wedge \mathbf{q}]\vee [(\mathbf{s}\vee \mathbf{t})\wedge \mathbf{u}]\right)\wedge (\mathbf{k}\vee \mathbf{y})$$ $$\begin{array}{rl}& \equiv \left([(\underset{1}{\underbrace{0\vee 1}})\wedge 1]\vee [(\underset{1}{\underbrace{0\vee 1}})\wedge 1]\right)\wedge (\underset{1}{\underbrace{0\vee 1}})\\ & \\ & \equiv \left([\underset{1}{\underbrace{1\wedge 1}}]\vee [\underset{1}{\underbrace{1\wedge 1}}]\right)\wedge 1\\ & \\ & \equiv (\underset{1}{\underbrace{1\vee 1}})\wedge 1\\ & \\ & \equiv 1\wedge 1\equiv \boxed{1}\end{array}$$