Bilişim Matematiği - 6. Hafta

Ünite 4: Lineer Cebir (Matrisler ve Determinantlar) | 31.10.2025

Matris Çeşitleri

a) Kare Matris

• Satır ve sütun sayısı birbirine eşit olan matrislerdir. R

$A={\left[\begin{array}{ccc}\boxed{-1}& 4& 2\\ \frac{1}{5}& \boxed{5}& -3\\ -2& -5& \boxed{4}\end{array}\right]}_{3\times 3}$

• Kutu içerisine alınanlar asal köşegen’dir.

---

b) Sıfır Matrisi

• Tüm elemanları 0 olan matrislere denir.

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

---

c) Birim Matris ($I$) - (Önemli)

• Bir kare matris üzerinde asal köşegen üzerindeki elemanların hepsi 1 ve diğer elemanlar 0’sa, bu matrise birim matris denir.

$C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

---

d) Simetrik Matris

• Bir kare matriste tüm elemanlar asal köşegene göre simetrik ise, bu matrise simetrik matris denir.

$\left[\begin{array}{ccc}1& \boxed{-5}& \boxed{3}\\ \boxed{-5}& 4& \boxed{2}\\ \boxed{3}& \boxed{2}& 7\end{array}\right]$

---

e) Ters Simetrik Matris

• Bir kare matrisin asal köşegeni üzerindeki elemanları 0 VE asal köşegene göre simetrik olan elemanlarının toplamı 0 İSE, bu matris ters simetrik matristir.

$E=\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ -5& 0\end{array}\right]T=\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 4\\ -5& 0& 3\\ -4& -3& 0\end{array}\right]$

---

f) Köşegen Matris

• Bir kare matriste asal köşegen dışında kalan tüm elemanlar 0 İSE, bu matise köşegen matris denir.

$F=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 4\end{array}\right]K=\left[\begin{array}{ccc}-5& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

Not

Sınavda $4\times 4$ bir köşegen matris oluşturun, $3\times 3$ ters simetrik matris oluşturun $\dots$ gibi sorular gelebilir.

---

g) Skaler Matris (Önemli)

• Bir köşegen matriste asal köşegen üzerindeki tüm elemanlar aynı İSE, bu matris skaler matristir.

$3I=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

---

Bir Matrisin Skalerle Çarpımı

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 6& -1& 3\end{array}\right]⟹$

a) $3A$ matrisini oluşturun.

$3A=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& -6\\ 18& -3& 9\end{array}\right]$

b) $-2A$ matrisini oluşturun.

$-2A=\left[\begin{array}{ccc}-2& -4& 4\\ -12& 2& -6\end{array}\right]$

c) $\frac{A}{2}$ matrisini oluşturun.

$\frac{A}{2}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 1& -1\\ 3& \frac{-1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right]$

---

Matrislerin Toplanması ve Çıkarılması

• Aynı türden 2 matris, karşılıklı elemanların toplanması veya çıkartılması şeklinde, toplama ve çıkarma işlemine tâbi tutulabilir.

$A=\left[\begin{array}{cc}-2& 5\\ 4& -3\\ 7& \frac{5}{2}\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}-3& -6\\ -5& 4\\ -8& \frac{7}{2}\end{array}\right]⟹$

a) $2A+3B$

$=\left[\begin{array}{cc}-4& 10\\ 8& -6\\ 14& 5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-9& -18\\ -15& 12\\ -24& \frac{21}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-13& -8\\ -7& 6\\ -10& \frac{31}{4}\end{array}\right]$

b) $3B-A$

$=\left[\begin{array}{cc}-9& -18\\ -15& 12\\ -24& \frac{21}{2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& -5\\ -4& 3\\ -7& \frac{-5}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-7& -23\\ -19& 15\\ -31& 8\end{array}\right]$

---

Örnek (Sınavda çıkabilir):

$A=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 3\end{array}\right]\wedge f(x)=3x-2⟹f(A)=?$

$f(A)=3A-2I$

$=\left[\begin{array}{cc}3& -12\\ 6& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -12\\ 6& 7\end{array}\right]$

---

Örnek:

$a.\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]+2.\left[\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right]⟹a\times b=?$

$\left[\begin{array}{c}3a\\ 4a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ 2b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right]$

$\to 3a+2=8\wedge 4a+2b=0$
$\to 3a=6⟹a=2$
$\to 8+2b=0⟹b=-4$
$\to \boxed{a.b=-8}$

---

Matrislerin Çarpımı

• İki matrisin çarpılabilmesi için;
  1. Boyutları uygun olmalı $(m\times \underline{n}).(\underline{n}\times k)=(m\times k)$
  2. Matrisler çarpılırken “satır $\times$ sütun, yaz satıra” mantığı kullanılmalı.

Örnek:

$A={\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& 5\end{array}\right]}_{2\times 2}B={\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 3\\ 1& 5& -1\end{array}\right]}_{2\times 3}$

$A\times B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3& 5\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 3\\ 1& 5& -1\end{array}\right]$

$A\times B=\left[\begin{array}{ccc}[(-2\times -2)+(4\times 1)]& [(-2\times 4)+(4\times 5)]& [(-2\times 3)+(4\times 3)]\\ [(3\times -2)+(5\times 1)]& [(3\times 4)+(5\times 5)]& [(3\times 3)+(5\times -1)]\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}8& 12& -10\\ -1& 37& 4\end{array}\right]$

---

$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& -4& 1\\ 3& 2& -1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}3& -8\\ 4& 1\\ -1& 2\end{array}\right]⟹A\times B=?$

$A\times B=\left[\begin{array}{cc}-23& 14\\ 18& -24\end{array}\right]$

---

Örnek (Sınavda çıkabilir):

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]⟹A^{17}=?$

$\to A\times A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]$

$\to A^2=(A\times A)=\left[\begin{array}{cc}-8& 0\\ 0& -8\end{array}\right]=-8I$

$\to A\times (A^2{)}^8=A\times (-8I{)}^8=A\times 8^8\times I=A\times 2^{24}=A^{17}$

$A^{17}=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -4& -2\end{array}\right]\times 2^{24}=\left[\begin{array}{cc}{2}^{25}& 3.2^{24}\\ -2^{26}& -2^{25}\end{array}\right]$

Bir Matrisin Transpozu (Devriği)

• A matrisi $(m\times n)$ boyutunda ise, A’nın transpozu $(A^T)$, $(n\times m)$ boyutundadır.

$A={\left[\begin{array}{ccc}-2& 5& 3\\ 4& 7& -1\end{array}\right]}_{2\times 3}{A}^T=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 5& 7\\ 3& -1\end{array}\right]$

---

Örnek:

$A$, 2. mertebeden bir kare matris $(2\times 2)$ olmak üzere, $A+A^T=\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 5& -6\end{array}\right]$ ise, $A$ matrisinin tüm elemanlarının toplamı nedir?

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 5& -6\end{array}\right]$

$\to 2a=4⟹a=2$
$\to b+c=5$
$\to 2d=-6⟹d=-3$

$\to a+b+c+d=4$

---

Transpozdan 1 Örnek Daha Çözülecek