Bilişim Matematiği - 4. Ders

Özür dilerim, talimatı gözden kaçırmışım. Haklısınız, başlıklarda kesinlikle LaTeX ifadesi kullanmamalıydım. Bu büyük bir hataydı. Kurala sadık kalarak metni tamamen yeniden düzenliyorum.

Ünite 3: Taban Aritmetiği | 17.10.2025

Sayıların Çözümlenmesi

Onluk Sistemde Çözümleme

Onluk tabandaki üç basamaklı bir sayının (abc) çözümlenmesi:

$$\Large \begin{array}{} (\LARGE a \quad b \quad c)_{\large 10} \\[4pt] \downarrow \quad \downarrow \quad \downarrow \\[4pt] a\cdot10^2 + \space b\cdot10^1 + \space c\cdot10^0 \end{array}$$

Diğer Sistemlerde Çözümleme

Herhangi bir tabandaki dört basamaklı bir sayının (abcd) çözümlenmesi:

$$\begin{array}{c}(abcd{)}_n\\ \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \\ a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2^1+d\cdot 2^0\end{array}$$

---

Örnek 1: İki basamaklı ab sayısı, rakamları toplamının 7 katından 9 fazladır. Bu koşulu sağlayan iki basamaklı ab sayılarının toplamı kaçtır?

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}ab& =7(a+b)+9\\ 10a+b& =7a+7b+9\\ 3a& =6b+9\text{(3’e bo¨lelim)}\\ \underset{\begin{array}{c}3\\ 5\\ 7\\ 9\end{array}}{\underbrace{a}}& =(\underset{\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}}{\underbrace{b}}\times 2)+3\end{array}$$ $$\text{Toplam}=30+51+72+93=\boxed{246}$$

---

Örnek 2: AB5 ve C38 üç basamaklı, AB iki basamaklı doğal sayılardır. Aşağıda verilen eşitliğe göre A x B x C kaçtır?

$$AB5-\mathbf{AB}=C38$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& (100A+10B+5)-(10A+B)=100C+38\\ & 90A+9B=100C+33\\ & 9(10A+B)=100(C)+33\\ & \\ & C=3⟹10A+B=37,A=3,B=7\\ & ⟹3\times 7\times 3=63=\mathbf{A}\times \mathbf{B}\times \mathbf{C}\end{array}$$

---

Değişik Tabandan Onluk Tabana Geçiş

$$\boxed{(abc{)}_d=a\cdot d^2++b\cdot d^1+c\cdot d^0}$$

---

Örnek 3: Verilen eşitliği sağlayan a değeri kaçtır?

$$(2006{)}_a=692$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}& 6\cdot a^0+0\cdot a^1+0\cdot a^2+2\cdot a^3=692\\ & 6+2a^3=692\\ & 2a^3=686\\ & a^3=343⟹a=7\end{array}$$

---

Ondalıklı Sayıların 10’luk Tabana Çevrilmesi

$$\boxed{(ab,cd{)}_n=a\cdot n^1+b\cdot n^0+c\cdot n^{-1}+d\cdot n^{-2}}$$

---

Örnek 4: Aşağıdaki sayının onluk tabandaki karşılığını bulunuz.

$$(12,34{)}_5$$

Çözüm Adımları:

$$\begin{array}{rl}(12,34{)}_5& =1\cdot 5^1+2\cdot 5^0+3\cdot 5^{-1}+4\cdot 5^{-2}\\ & =5+2+\frac{3}{5}+\frac{4}{25}\\ & =7+\frac{15}{25}+\frac{4}{25}\\ & =7+\frac{19}{25}=7+\frac{76}{100}=(7,76{)}_{10}\end{array}$$

---

10’luk Tabandan Değişik Tabana Geçiş

Örnek 5: Aşağıdaki sayının 5’lik tabandaki karşılığını bulunuz.

$$(156{)}_{10}$$

Çözüm Adımları:

Not

Bölme işlemi bittiğinde, en son bölümden başlayarak kalanlar sırasıyla yazılır.

$$(156{)}_{10}=(1111{)}_5$$

---

Örnek 6: Aşağıdaki sayının 4’lük tabandaki karşılığını bulunuz.

$$(155{)}_6$$

Çözüm Adımları:

Önce $(155{)}_6$ sayısını 10’luk tabana çevirelim:

$$(155{)}_6=1\cdot 6^2+5\cdot 6^1+5\cdot 6^0=36+30+5=(71{)}_{10}$$

Şimdi de $(71{)}_{10}$ sayısını 4’lük tabana çevirelim:

$$(155{)}_6=(71{)}_{10}=(1013{)}_4$$

---

Değişik Tabanlarda Dört İşlem

a) Toplama

Bilgi

Toplama işlemi onluk sistemdekiyle aynı mantıkta yapılır. Tek fark, toplam taban sayısına ulaştığında veya geçtiğinde “elde” alınmasıdır. Örneğin 6’lık tabanda $4+5=9$ eder. $9=1\cdot 6+3$ olduğu için 3 yazılır, 1 elde olarak yan basamağa geçer.

Örnek 7: Aşağıdaki toplama işleminin sonucunu bulunuz.

$$(5241{)}_6+(3452{)}_6$$ $$\begin{array}{cccccc}& & (\stackrel{1}{5}& \stackrel{1}{2}& \stackrel{1}{4}& 1{)}_6\\ +& & (3& 4& 5& 2{)}_6\\ & (1& 3& 1& 3& 3{)}_6\end{array}$$

---

Örnek 8: Aşağıdaki toplama işleminin sonucunu bulunuz.

$$(6351{)}_7+(4635{)}_7$$ $$\begin{array}{cccccc}& & (\stackrel{1}{6}& \stackrel{1}{3}& \stackrel{1}{5}& 1{)}_7\\ +& & (4& 6& 3& 5{)}_7\\ & (1& 4& 3& 1& 6{)}_7\end{array}$$

---

b) Çıkarma

Örnek 9: Aşağıdaki çıkarma işleminin sonucunu bulunuz.

$$(5423{)}_6-(1235{)}_6$$ $$\begin{array}{cccccc}& & (5& \stackrel{3}{\cancel{4}}& \stackrel{8}{\cancel{2}}& \stackrel{9}{\cancel{3}}{)}_6\\ -& & (1& 2& 3& 5{)}_6\\ & & (4& 1& 4& 4{)}_6\end{array}$$

Örnek 10: Aşağıdaki çıkarma işleminin sonucunu bulunuz.

$$(6524{)}_7-(3654{)}_7$$ $$\begin{array}{cccccc}& & \stackrel{5}{\cancel{6}}& \stackrel{11}{\cancel{5}}& \stackrel{9}{\cancel{2}}& 4\\ -& & 3& 6& 5& 4\\ & & 2& 5& 4& 0\end{array}$$

---

c) Çarpma

Örnek 11: Aşağıdaki çarpma işleminin sonucunu bulunuz.

$$(543{)}_6\times (52{)}_6$$
$$\begin{array}{rccccc}& & 5& 4& 3& \\ \times & & & 5& 2& \\ & 1& 5& 3& 0& \\ +& 4& 4& 4& 3& \\ & 5& 0& 4& 0& 0\end{array}$$

---

Örnek 12: Aşağıdaki çarpma işleminin sonucunu bulunuz.

$$(434{)}_5\times (24{)}_5$$
$${\begin{array}{rccccc}& & 4& 3& 4& \\ \times & & & 2& 4& \\ & 3& 4& 0& 1& \\ +& 1& 4& 2& 3& \\ & 2& 3& 1& 3& 1\end{array}}_5$$

---

Örnek 13: $m$ ve $n$ sayı tabanları olmak üzere, verilen eşitliğe göre $m+n$ toplamının minimum değeri kaçtır?

$$(43{)}_m=(34{)}_n$$

Çözüm Adımları:

• Şunu hatırlamalıyız: “Bir sayı tabanındaki rakamlar, tabanın kendisinden küçük olmalıdır.”
  • $(43{)}_m⟹m>4$
  • $(34{)}_n⟹n>4$
• Bu durumda $m,n\ge 5$ olmalıdır.

$$\begin{array}{rl}& 4\cdot m^1+3\cdot m^0=3\cdot n^1+4\cdot n^0\\ & 4m+3=3n+4\\ & 4m-3n=1\\ & \\ & (4\times \underset{\begin{array}{c}7\end{array}}{\underbrace{m)}}-(3\times \underset{9}{\underbrace{n)}}=1\end{array}$$ $${\mathbf{m}}_{\text{min}}=7\wedge {\mathbf{n}}_{\text{min}}=9⟹\mathbf{m}+\mathbf{n}=\boxed{16}$$