Bilişim Matematiği - 4. Hafta

Ünite 3: Taban Aritmetiği | 17.10.2025

Sayıların Çözümlenmesi

Onluk Sistemde Çözümleme

$\text{abc}$ 3 basamaklı sayısı için;

$$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ a\cdot 10^2& +b\cdot 10^1& +c\cdot 10^0\end{array}\right)\to a.10^2+b.10^1+c.10^0$$

Diğer Sistemlerde Çözümleme

$\text{abcd}$ dört basamaklı sayısı için;

$${\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ a\cdot 2^3& +b\cdot 2^2& +c\cdot 2^1& +d\cdot 2^0\end{array}\right)}_2\to a.2^3+c.2^1+b.2^2+a.2^3$$

---

Örnek: 2 basamaklı $\text{ab}$ sayısı, rakamları toplamının $7$ katından $9$ fazladır. Bu koşulu sağlayan iki basamaklı $ab$ sayılarının toplamı kaçtır?

$ab=7(a+b)+9\to ab=7a+7b+9$

$\to 10a+b=7a+7b+9\to 3a=6b+9$

$\to \underset{\begin{array}{c}3\\ 5\\ 7\\ 9\end{array}}{\underbrace{a}}=2\times \underset{\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}}{\underbrace{b}}+$

$\to 51+72+93+30=\boxed{246}$

---

Örnek: $\text{AB5}$ ve $\text{C38}$ $3$ basamaklı, $\text{AB}$ iki basamaklı doğal sayılardır. $\text{AB5}-\text{AB}=\text{C38}$ ise, $A\times B\times C$ kaçtır?

$(100A+10B+5)-(10A+B)=100C+38$

$\to 90A+9B=100C+33$

$\to 9(10A+B)=100C+33$

$\to 9(\underset{37}{\underbrace{AB}})=100(\underset{3}{\underbrace{C}})+33$

$\to A\times B\times C=\mathrm{3.7.3}=\boxed{63}$

---

Değişik Tabandan Onluk Tabana Geçiş

$\boxed{{\left(abc\right)}_d=c.d^0+b.d^1+a.d^2}$

---

Örnek: $(2006{)}_a=692⟹a=?$

$6.a^0+0.a^1+0.a^2+2.a^3=692\to 6+2a^3=692$

$\to a^3=343⟹a=7$

---

Not: $\text{ 10’luk Tabana Gec¸is¸: }$

$\boxed{(bc,de{)}_n=b.n^1+c.n^0+d.n^{-1}+e.n^{-2}}$

---

Örnek: $(12,34{)}_5\stackrel{?}{=}({)}_{10}$

$1{.}^5+2.5^0+3.5^{-1}+4.5^{-2}=7+\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$

$\to 7+\frac{19}{25}=7+\frac{76}{100}$

$\to (7,76{)}_{10}$

---

10’luk Tabandan Değişik Tabana Geçiş

Örnek: $(156{)}_{10}\stackrel{?}{=}({)}_5$

Not

En son kalandan itibaren yazılacak.
Bu durumda $(156{)}_{10}=(1111{)}_5$

---

Örnek: $(155{)}_6\stackrel{?}{=}({)}_4$

$1.6^2+5.6^1+5.6^0=71_{10}$

---

Değişik Tabanlarda Dört İşlem

a) Toplama

Bilgi

Sadece uyarlama yapılması gerekiyor. $10$‘luk sistemde nasıl toplama yapıyorsak bunu 6’lık sisteme uyarlayacağız. 10 olunca elde var demek yerine 6 olunca elde var demek gibi.

Örnek: $(5241{)}_6+(3452{)}_6\stackrel{?}{=}$

$$\begin{array}{ccccc}& & \boxed{1}& \stackrel{\text{ Elde var}}{\overbrace{\boxed{1}}}& \\ & (5& 2& 4& 1{)}_6\\ +& (3& 4& 5& 2{)}_6\\ (1& 3& 1& 3& 3{)}_6\end{array}$$

• Sadece uyarlama yapılması gerekiyor. $10$‘luk sistemde nasıl toplama yapıyorsak bunu 6’lık sisteme uyarlayacağız. 10 olunca elde var demek yerine 6 olunca elde var demek gibi.

Örnek: $(6351{)}_7+(4635{)}_7\stackrel{?}{=}$

$$\begin{array}{ccccc}& & \boxed{1}& \boxed{1}& \\ & (6& 3& 5& 1{)}_7\\ +& (4& 6& 3& 5{)}_7\\ (1& 4& 3& 1& 6{)}_7\end{array}$$

---

b) Çıkarma

Örnek: $(5423{)}_6-(1235{)}_6\stackrel{?}{=}$

$$\begin{array}{ccccc}& & 3& 7& 9\\ & (5& 4& 2& 3{)}_6\\ -& (1& 2& 3& 5{)}_6\\ & (4& 1& 4& 4{)}_6\end{array}$$

Örnek: $(6524{)}_7-(3654{)}_7\stackrel{?}{=}$

$$\begin{array}{ccccc}& 5& 11& 9& \\ & (6& 5& 2& 4{)}_7\\ -& (3& 6& 5& 4{)}_7\\ & (2& 5& 4& 0{)}_7\end{array}$$

---

c) Çarpma

Örnek: $(542{)}_6\times (52{)}_6\stackrel{?}{=}$

$$\begin{array}{rcccccc}& & (5& 4& 3{)}_6& & \\ \times & & & (5& 2{)}_6& & \\ & & 1& 5& 3& 0& \\ +& 4& 4& 4& 3& & \\ & 5& 0& 4& 0& 0& \end{array}$$

Örnek: $(434{)}_5\times (24{)}_5\stackrel{?}{=}$

$$\begin{array}{rcccccc}& & (4& 3& 4{)}_5& & \\ \times & & & (2& 4{)}_5& & \\ & & 3& 4& 0& 1& \\ +& 1& 4& 2& 3& & \\ & 2& 3& 1& 3& 1& \end{array}$$

---

Örnek: $m$ ve $n$ sayı tabanları olmak üzere;
$(43)m=(34{)}_n⟹m+n$ toplamının minimum değeri kaçtır?

• Şu çıkarımı yapmalıyız: $(43{)}_m$ ve $(34{)}_n$ ifadelerinde en büyük rakam $4$ olduğu için, tabanın kesinlikle 4’ten büyük olması gerekiyor. Bu durumda $\boxed{m\wedge n\ge 5}$

$4m+3=3n+4⟹4m-3n=1$

$(4\times \underset{\begin{array}{c}7\end{array}}{\underbrace{m)}}-(3\times \underset{9}{\underbrace{n)}}=1$

$\text{Minimum deg˘er: }16$