Bilişim Matematiği - 3. Hafta

Noetic Logos

Ünite 2: Mantık | 10.10.2025

Koşullu Önermeler

a) Tek Yönlü Koşullu Önerme ( $⟹$ -İSE-)

$p$	$q$	$p ⟹ q$
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

$p ⟹ q \equiv p^{'} \land q$

Örnek: $[(p \lor q) ⟹ (q \lor r)]^{'} \equiv 1 ise, p, q ve r’nin do \overset{g}{˘} ruluk de \overset{g}{˘} eri nedir?$

$[(p^{'} \land q^{'}) \lor (q \lor r)]^{'} \equiv 1$

$\equiv [1 (p \lor q) \land 1 (q^{'} \land r^{'}) \equiv 1]$

$q \equiv 0, r \equiv 0, p \equiv 1$

Örnek (Sınavda çıkabilir):
$(p^{'} ⟹ q^{'}) ⟹ (p \lor q)^{'} \equiv ?$

$(p \lor q^{'}) ⟹ (p \lor q)^{'}$

$\equiv (p^{'} \land q) \lor (p^{'} \land q^{'})$

$\equiv p^{'} \land (q \lor q^{'})$

$\equiv p^{'} \land 1 \equiv p^{'}$

b) Çift Yönlü Koşullu Önerme ( $⟺$ -ANCAK VE ANCAK-)

$p$	$q$	$⟺$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

$p ⟺ q \equiv (p ⟹ q) \land (q ⟹ p) \equiv (p^{'} \lor q) \land (q^{'} \lor p)$

Örnek:
$p ⟺ (q \lor p^{'})^{'} \equiv ?$

$\equiv p ⟺ (q^{'} \land p)$

$\equiv [p ⟹ (q^{'} \land p)] \land [(q^{'} \land p) ⟹ p]$

$\equiv [p^{'} \lor (q^{'} \land p)] \land [(q \lor p^{'}) \lor p]$

$\equiv [(p^{'} \lor p) \land (p^{'} \lor q^{'})] \land 1 [q \lor p]$

$\equiv [1 \land (p^{'} \lor q^{'})] \land 1 \equiv p^{'} \lor q^{'}$

Örnek:
$(p^{'} ⟺ q)^{'} \lor (q \land p)^{'} \equiv ?$

$\equiv [(p^{'} ⟹ q) \land (q ⟹ p^{'})]^{'} \lor (q^{'} \lor p^{'})$

$\equiv [(p \lor q) \land (q^{'} \lor p^{'})]^{'} \lor (q^{'} \lor p^{'})$

$\equiv [(p^{'} \land q^{'}) \lor (q \land p)] \lor (q^{'} \lor p^{'})$

$\lor oldu \overset{g}{˘} undan parantezi atlayabiliriz. Ayr ı ca, (q^{'} \lor p^{'}) = (q \land p)^{'}$

$\equiv (p^{'} \land q^{'}) \lor 1 (q \land p) \lor (q \land p)^{'}$

$\equiv (p^{'} \land q^{'}) \lor 1 \equiv 1$

İspat Yöntemleri

1- Doğrudan İspat

$p ⟹ q$ önermesinde, $p \equiv 1$ iken $q$ ‘nun da $1$ olduğunun gösterilmesine doğrudan ispat yöntemi denir.

Örnek:
$p : x^{2} - 1 = 0$
$q : x = 1, x = - 1$

olduğuna göre, $p ⟹ q$ teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayın.

* $p \equiv 1$ olduğunu varsayalım.

$x^{2} - 1 = 0$
- $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1) = 0$
  - $q : x = 1 \lor x = - 1$

2- Olmayana Ergi Yöntemi

$p ⟹ q$ teoreminin karşıt tersinin ( $q^{'} ⟹ p^{'}$ ) ispatlanmasına denir.

Örnek:
$p : 4 x - 32 = 0$
$q : x = 8$

olduğuna göre, $p ⟹ q$ ‘yu olmayana ergi yöntemiyle ispatlayın.

$p^{'} : 4 x - 32 \neq = 0$

$q^{'} : x \neq = 8$

$Do \overset{g}{˘} ru kabul edilir. \equiv 1 (x \neq = 8) ⟹ Do \overset{g}{˘} rulu \overset{g}{˘} u g \overset{o}{¨} sterilir. (4 x - 32 \neq = 0)$

$Dolay ı s ı yla q^{'} ⟹ p^{'} do \overset{g}{˘} rudur.$

Karşıt tersi doğru olan her önerme doğru olduğundan $p ⟹ q$ ’ da doğrudur.

Totoloji ve Çelişki

Totoloji

Basit bileşenlerin doğruluk değeri ne olursa olsun doğru olan bileşke önerme.
Söz gelişi, insanlar erkektir veya kadındır önermesi her zaman doğrudur. O nedenle bu önerme bir totolojidir.
$(p \lor p^{'}) \equiv 1$ totolojidir.
Doğruluk tablosunda her zaman $1$ değerini verir.

Çelişki

Basit bileşenlerinin doğruluk değeri ne olursa olsun yanlış olan bileşke önerme.
$(p \land p^{'}) \equiv 0$ çelişkidir.
Doğruluk tablosunda her zaman $0$ değerini verir.

Örnek:
$[(p^{'} \land p)^{'} \lor q]^{'} ⟹ q \equiv 1$ önermesinin totoloji olduğunu gösterin.

1. Yöntem:

$[(p^{'} \land p)^{'} \lor q] \lor q \equiv 1$

$\equiv 1 0^{'} \lor q \lor q \equiv 1$

$\equiv 1 \lor q \equiv 1$

2. Yöntem (Tablo Yöntemi)

$p$	$q$	$p^{'}$	$p^{'} \land p a$	$a^{'}$	$a^{'} \lor q m$	$m^{'}$	$m ⟹ q$
1	1	0	0	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1
0	0	1	0	1	1	0	1

$m ⟹ q$ her zaman 1 değerini verdiğinden, önerme bir totolojidir.

Örnek:
$(0 \land 1) \land (p \lor q)^{'} \equiv 0$ çelişki olduğunu gösterin.

$\equiv 0 \land (p^{'} \land q^{'}) \equiv 0$

Bileşik Önermelerin Elektrik Devrelerine Uygulanması

Örnek

Yukarıdaki devreyi bileşik önermelerde ifade edin ve akım geçip geçmediğine bakın.

$[(p \lor r) \land q] \lor [(s \lor t) \land u] \land (k \lor y)$

$\equiv [1 (0 \lor 1) \land 1] \land [1 (0 \lor 1) \land 1] \land (1 0 \lor 1) \equiv 1 Dolay ı s ı yla ak ı m ge \overset{c}{¸} er.$